Дайте определение параллелограмма сформулируйте его свойства. Определение параллелограма и его свойства

Доказательство

Первым делом проведем диагональ AC . Получаются два треугольника: ABC и ADC .

Так как ABCD — параллелограмм, то справедливо следующее:

AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 как лежащие накрест.

AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 как лежащие накрест.

Следовательно, \triangle ABC = \triangle ADC (по второму признаку: и AC — общая).

И, значит, \triangle ABC = \triangle ADC , то AB = CD и AD = BC .

Доказано!

2. Противоположные углы тождественны.

Доказательство

Согласно доказательству свойства 1 мы знаем, что \angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 . Таким образом сумма противоположных углов равна: \angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 . Учитывая, что \triangle ABC = \triangle ADC получаем \angle A = \angle C , \angle B = \angle D .

Доказано!

3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения.

Доказательство

Проведем еще одну диагональ.

По свойству 1 мы знаем, что противоположные стороны тождественны: AB = CD . Еще раз отметим накрест лежащие равные углы.

Таким образом видно, что \triangle AOB = \triangle COD по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, BO = OD (напротив углов \angle 2 и \angle 1 ) и AO = OC (напротив углов \angle 3 и \angle 4 соответственно).

Доказано!

Признаки параллелограмма

Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры.

Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос — «как узнать?» . То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм.

1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны.

AB = CD ; AB || CD \Rightarrow ABCD — параллелограмм.

Доказательство

Рассмотрим подробнее. Почему AD || BC ?

\triangle ABC = \triangle ADC по свойству 1 : AB = CD , AC — общая и \angle 1 = \angle 2 как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC .

Но если \triangle ABC = \triangle ADC , то \angle 3 = \angle 4 (лежат напротив AB и CD соответственно). И следовательно AD || BC (\angle 3 и \angle 4 - накрест лежащие тоже равны).

Первый признак верен.

2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.

AB = CD , AD = BC \Rightarrow ABCD — параллелограмм.

Доказательство

Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ AC .

По свойству 1 \triangle ABC = \triangle ACD .

Из этого следует, что: \angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC и \angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD , то есть ABCD — параллелограмм.

Второй признак верен.

3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны.

\angle A = \angle C , \angle B = \angle D \Rightarrow ABCD — параллелограмм.

Доказательство

2 \alpha + 2 \beta = 360^{\circ} (поскольку ABCD — четырехугольник, а \angle A = \angle C , \angle B = \angle D по условию).

Получается, \alpha + \beta = 180^{\circ} . Но \alpha и \beta являются внутренними односторонними при секущей AB .

И то, что \alpha + \beta = 180^{\circ} говорит и о том, что AD || BC .

При этом \alpha и \beta — внутренние односторонние при секущей AD . И это значит AB || CD .

Третий признак верен.

4. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого диагонали разделены точкой пересечения пополам.

AO = OC ; BO = OD \Rightarrow параллелограмм.

Доказательство

BO = OD ; AO = OC , \angle 1 = \angle 2 как вертикальные \Rightarrow \triangle AOB = \triangle COD , \Rightarrow \angle 3 = \angle 4 , и \Rightarrow AB || CD .

Аналогично BO = OD ; AO = OC , \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8 , и \Rightarrow AD || BC .

Четвертый признак верен.

При-зна-ки па-рал-ле-ло-грам-ма

1. Определение и основные свойства параллелограмма

Нач-нем с того, что вспом-ним опре-де-ле-ние па-рал-ле-ло-грам-ма.

Опре-де-ле-ние. Па-рал-ле-ло-грамм - че-ты-рех-уголь-ник, у ко-то-ро-го каж-дые две про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны па-рал-лель-ны (см. Рис. 1).

Рис. 1. Па-рал-ле-ло-грамм

Вспом-ним ос-нов-ные свой-ства па-рал-ле-ло-грам-ма :

Для того, чтобы иметь воз-мож-ность поль-зо-вать-ся всеми этими свой-ства-ми, необ-хо-ди-мо быть уве-рен-ным, что фи-гу-ра, о ко-то-рой идет речь, - па-рал-ле-ло-грамм. Для этого необ-хо-ди-мо знать такие факты, как при-зна-ки па-рал-ле-ло-грам-ма. Пер-вые два из них мы се-год-ня и рас-смот-рим.

2. Первый признак параллелограмма

Тео-ре-ма. Пер-вый при-знак па-рал-ле-ло-грам-ма. Если в че-ты-рех-уголь-ни-ке две про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны равны и па-рал-лель-ны, то этот че-ты-рех-уголь-ник - па-рал-ле-ло-грамм . .

Рис. 2. Пер-вый при-знак па-рал-ле-ло-грам-ма

До-ка-за-тель-ство. Про-ве-дем в че-ты-рех-уголь-ни-ке диа-го-наль (см. Рис. 2), она раз-би-ла его на два тре-уголь-ни-ка. За-пи-шем, что мы знаем об этих тре-уголь-ни-ках:

по пер-во-му при-зна-ку ра-вен-ства тре-уголь-ни-ков.

Из ра-вен-ства ука-зан-ных тре-уголь-ни-ков сле-ду-ет, что по при-зна-ку па-рал-лель-но-сти пря-мых при пе-ре-се-че-нии их се-ку-щей. Имеем, что:

До-ка-за-но.

3. Второй признак параллелограмма

Тео-ре-ма. Вто-рой при-знак па-рал-ле-ло-грам-ма. Если в че-ты-рех-уголь-ни-ке каж-дые две про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны равны, то этот че-ты-рех-уголь-ник - па-рал-ле-ло-грамм . .

Рис. 3. Вто-рой при-знак па-рал-ле-ло-грам-ма

До-ка-за-тель-ство. Про-ве-дем в че-ты-рех-уголь-ни-ке диа-го-наль (см. Рис. 3), она раз-би-ва-ет его на два тре-уголь-ни-ка. За-пи-шем, что мы знаем об этих тре-уголь-ни-ках, ис-хо-дя из фор-му-ли-ров-ки тео-ре-мы:

по тре-тье-му при-зна-ку ра-вен-ства тре-уголь-ни-ков.

Из ра-вен-ства тре-уголь-ни-ков сле-ду-ет, что и по при-зна-ку па-рал-лель-но-сти пря-мых при пе-ре-се-че-нии их се-ку-щей. По-лу-ча-ем:

па-рал-ле-ло-грамм по опре-де-ле-нию. Что и тре-бо-ва-лось до-ка-зать.

До-ка-за-но.

4. Пример на применение первого признака параллелограмма

Рас-смот-рим при-мер на при-ме-не-ние при-зна-ков па-рал-ле-ло-грам-ма.

При-мер 1. В вы-пук-лом че-ты-рех-уголь-ни-ке Найти: а) углы че-ты-рех-уголь-ни-ка; б) сто-ро-ну .

Ре-ше-ние. Изоб-ра-зим Рис. 4.

па-рал-ле-ло-грамм по пер-во-му при-зна-ку па-рал-ле-ло-грам-ма.

А. по свой-ству па-рал-ле-ло-грам-ма о про-ти-во-по-лож-ных углах, по свой-ству па-рал-ле-ло-грам-ма о сумме углов, при-ле-жа-щих к одной сто-роне.

Б. по свой-ству ра-вен-ства про-ти-во-по-лож-ных сто-рон.

ре-тий при-знак па-рал-ле-ло-грам-ма

5. Повторение: определение и свойства параллелограмма

На-пом-ним, что па-рал-ле-ло-грамм - это че-ты-рёх-уголь-ник, у ко-то-ро-го про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны по-пар-но па-рал-лель-ны. То есть, если - па-рал-ле-ло-грамм, то (см. Рис. 1).

Па-рал-ле-ло-грамм об-ла-да-ет целым рядом свойств: про-ти-во-по-лож-ные углы равны (), про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны равны (). Кроме того, диа-го-на-ли па-рал-ле-ло-грам-ма в точке пе-ре-се-че-ния де-лят-ся по-по-лам, сумма углов, при-ле-жа-щих к любой сто-роне па-рал-ле-ло-грам-ма, равна и т.д.

Но для того, чтобы поль-зо-вать-ся всеми этими свой-ства-ми, необ-хо-ди-мо быть аб-со-лют-но уве-рен-ны-ми в том, что рас-смат-ри-ва-е-мый че-ты-рёх-уголь-ник - па-рал-ле-ло-грамм. Для этого и су-ще-ству-ют при-зна-ки па-рал-ле-ло-грам-ма: то есть те факты, из ко-то-рых можно сде-лать од-но-знач-ный вывод, что че-ты-рёх-уголь-ник яв-ля-ет-ся па-рал-ле-ло-грам-мом. На преды-ду-щем уроке мы уже рас-смот-ре-ли два при-зна-ка. Сей-час рас-смот-рим тре-тий.

6. Третий признак параллелограмма и его доказательство

Если в че-ты-рёх-уголь-ни-ке диа-го-на-ли в точке пе-ре-се-че-ния де-лят-ся по-по-лам, то дан-ный че-ты-рёх-уголь-ник яв-ля-ет-ся па-рал-ле-ло-грам-мом.

Дано:

Че-ты-рёх-уголь-ник; ; .

До-ка-зать:

Па-рал-ле-ло-грамм.

До-ка-за-тель-ство:

Для того чтобы до-ка-зать дан-ный факт, необ-хо-ди-мо до-ка-зать па-рал-лель-ность сто-рон па-рал-ле-ло-грам-ма. А па-рал-лель-ность пря-мых чаще всего до-ка-зы-ва-ет-ся через ра-вен-ство внут-рен-них на-крест ле-жа-щих углов при этих пря-мых. Таким об-ра-зом, на-пра-ши-ва-ет-ся сле-ду-ю-щий спо-соб до-ка-за-тель-ства тре-тье-го при-зна-ка па-рал-ле-ло-грам-ма: через ра-вен-ство тре-уголь-ни-ков .

До-ка-жем ра-вен-ство этих тре-уголь-ни-ков. Дей-стви-тель-но, из усло-вия сле-ду-ет: . Кроме того, по-сколь-ку углы - вер-ти-каль-ные, то они равны. То есть:

(пер-вый при-знак ра-вен-ства тре-уголь-ни-ков - по двум сто-ро-нам и углу между ними).

Из ра-вен-ства тре-уголь-ни-ков: (так как равны внут-рен-ние на-крест ле-жа-щие углы при этих пря-мых и се-ку-щей ). Кроме того, из ра-вен-ства тре-уголь-ни-ков сле-ду-ет, что . Зна-чит, мы по-лу-чи-ли, что в че-ты-рёх-уголь-ни-ке две сто-ро-ны равны и па-рал-лель-ны. По пер-во-му при-зна-ку па-рал-ле-ло-грам-ма: - па-рал-ле-ло-грамм.

До-ка-за-но.

7. Пример задачи на третий признак параллелограмма и обобщение

Рас-смот-рим при-мер на при-ме-не-ние тре-тье-го при-зна-ка па-рал-ле-ло-грам-ма.

При-мер 1

Дано:

- па-рал-ле-ло-грамм; . - се-ре-ди-на , - се-ре-ди-на , - се-ре-ди-на , - се-ре-ди-на (см. Рис. 2).

До-ка-зать: - па-рал-ле-ло-грамм.

До-ка-за-тель-ство:

Зна-чит, в че-ты-рёх-уголь-ни-ке диа-го-на-ли в точке пе-ре-се-че-ния де-лят-ся по-по-лам. По тре-тье-му при-зна-ку па-рал-ле-ло-грам-ма из этого сле-ду-ет, что - па-рал-ле-ло-грамм.

До-ка-за-но.

Если про-ве-сти ана-лиз тре-тье-го при-зна-ка па-рал-ле-ло-грам-ма, то можно за-ме-тить, что этот при-знак со-от-вет-ству-ет свой-ству па-рал-ле-ло-грам-ма. То есть, то, что диа-го-на-ли де-лят-ся по-по-лам, яв-ля-ет-ся не про-сто свой-ством па-рал-ле-ло-грам-ма, а его от-ли-чи-тель-ным, ха-рак-те-ри-сти-че-ским свой-ством, по ко-то-ро-му его можно вы-де-лить из мно-же-ства че-ты-рёх-уголь-ни-ков.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://wwww.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны (рис. 233).

Для произвольного параллелограмма имеют место следующие свойства:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны.

Доказательство. В параллелограмме ABCD проведем диагональ АС. Треугольники ACD и АС В равны, как имеющие общую сторону АС и две пары равных углов, прилежащих к ней:

(как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и ВС). Значит, и как стороны равных треугольников, лежащие против равных углов, что и требовалось доказать.

2. Противоположные углы параллелограмма равны:

3. Соседние углы параллелограмма, т. е. углы, прилежащие к одной стороне, составляют в сумме и т. д.

Доказательство свойств 2 и 3 сразу получается из свойств углов при параллельных прямых.

4. Диагонали параллелограмма делят друг друга в точке их пересечения пополам. Иначе говоря,

Доказательство. Треугольники AOD и ВОС равны, так как равны их стороны AD и ВС (свойство 1) и углы, к ним прилежащие (как накрест лежащие углы при параллельных прямых). Отсюда следует и равенство соответствующих сторон этих треугольников: АО что и требовалось доказать.

Каждое из названных четырех свойств характеризует параллелограмм, или, как говорят, является его характеристическим свойством, т. е. всякий четырехугольник, обладающий хотя бы одним из этих свойств, является параллелограммом (и, значит, обладает и всеми остальными тремя свойствами).

Проведем доказательство для каждого свойства отдельно.

1". Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то он является параллелограммом.

Доказательство. Пусть у четырехугольника ABCD стороны AD и ВС, АВ и CD соответственно равны (рис. 233). Проведем диагональ АС. Треугольники ABC и CDА будут равны, как имеющие три пары равных сторон.

Но тогда углы ВАС и DCА равны и . Параллельность сторон ВС и AD следует из равенства углов CAD и АСВ.

2. Если у четырехугольника две пары противоположных углов равны, то он является параллелограммом.

Доказательство. Пусть . Так как то и стороны AD и ВС параллельны (по признаку параллельности прямых).

3. Предоставляем формулировку и доказательство читателю.

4. Если диагонали четырехугольника взаимно делятся в точке пересечения пополам, то четырехугольник - параллелограмм.

Доказательство. Если АО = ОС, BO = OD (рис. 233), то треугольники AOD и ВОС равны, как имеющие равные углы (вертикальные!) при вершине О, заключенные между парами равных сторон АО и СО, ВО и DO. Из равенства треугольников заключаем, что стороны AD и ВС равны. Также равны стороны АВ и CD, и четырехугольник оказывается параллелограммом по характеристическому свойству Г.

Таким образом, для того чтобы доказать, что данный четырехугольник является параллелограммом, достаточно убедиться в справедливости любого из четырех свойств. Читателю предлагается самостоятельно доказать еще одно характеристическое свойство параллелограмма.

5. Если четырехугольник имеет пару равных, параллельных между собой сторон, то он является параллелограммом.

Иногда какая-нибудь пара параллельных сторон параллелограмма называется его основаниями, тогда две другие называются боковыми сторонами. Отрезок прямой, перпендикулярной к двум сторонам параллелограмма, заключенный между ними, называется высотой параллелограмма. Параллелограмм на рис. 234 имеет высоту h, проведенную к сторонам AD и ВС, вторая его высота представлена отрезком .

У которого противоположные стороны параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник , квадрат и ромб .

Свойства

• Противолежащие стороны параллелограмма равны.
• Противолежащие углы параллелограмма равны.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
• Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам: $\backslash left|AO\backslash right|\; =\; \backslash left|OC\backslash right|,\; \backslash left|BO\backslash right|\; =\; \backslash left|OD\backslash right|$.
• Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
• Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника.
• Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.
• Тождество параллелограмма : сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть а - длина стороны AB, b - длина стороны BC, $d\_1$ и $d\_2$ - длины диагоналей; тогда $d\_1^2+d\_2^2\; =\; 2(a^2\; +\; b^2).$

• Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):

1. У четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: $AB\; =\; CD,\; AB\; \backslash parallel\; CD$.
2. Все противоположные углы попарно равны: $\backslash angle\; A\; =\; \backslash angle\; C,\; \backslash angle\; B\; =\; \backslash angle\; D$.
3. У четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: $AB\; =\; CD,\; BC=DA$.
4. Все противоположные стороны попарно параллельны: $AB\; \backslash parallel\; CD,\; BC\; \backslash parallel\; DA$.
5. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: $AO\; =\; OC,\; BO\; =\; OD$.
6. Сумма соседних углов равна 180 градусов: $\backslash angle\; A\; +\; \backslash angle\; B\; =\; 180^\backslash circ,\; \backslash angle\; B\; +\; \backslash angle\; C\; =\; 180^\backslash circ,\; \backslash angle\; C\; +\; \backslash angle\; D\; =\; 180^\backslash circ,\; \backslash angle\; D\; +\; \backslash angle\; A\; =\; 180^\backslash circ$.
7. Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру.
8. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: $AC^2+BD^2\; =\; AB^2+BC^2+CD^2+DA^2$.

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:

$S\; =\; ah$ , где $a$ - сторона, $h$ - высота, проведенная к этой стороне.

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними:

$S\; =\; ab\backslash sin\; \backslash alpha$, где $a$ и $b$ - стороны, а $\backslash alpha$ - угол между сторонами a и b.

См. также

Напишите отзыв о статье "Параллелограмм"

Примечания

Отрывок, характеризующий Параллелограмм